È un integrale che non si può risolvere usando le cosiddette "funzioni elementari", che sarebbero una classe di funzioni i cui confini sono piuttosto difficili da tracciare in maniera netta, comunque possiamo dire che vi rientrano i polinomi, le funzioni della trigonometria come sin(x) e cos(x), gli esponenziali, i logaritmi... più tutte le funzioni che si possono costruire a partire da esse. In un certo senso sono i mattoni con cui costruire tutte le funzioni, però purtroppo queste non bastano.
Un esempio è dato dall'integrale di naked, che è anche piuttosto importante perché è l'integrale della funzione gaussiana (la "campana" che rappresenta la probabilità di moltissimi fenomeni naturali e non).
Questo è il motivo per cui il tizio del meme (e successivamente la ragazza) sono così turbati: vorrebbero esprimere l'integrale mediante funzioni elementari ma purtroppo non è possibile.
Ulteriori informazioni le puoi trovare su questa pagina di wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Nonelementary_integral e in quella sul teorma di Liouville, ivi linkato.