Ringrazio tutti per i suggerimenti, ma la soluzione non era nessuna di quelle che mi avete dato!
Sono andato sulla board del sito di JD e ho trovato che probabilmente si trattava di un problema con la nuova versione di Java. Cerca che ti cerca, ho scoperto l'esistenza del file "updater.jar" presente nella cartella di JD. L'ho avviato e mi ha aggiornato JD... trasformandolo in qualcosa di assai diverso graficamente!
Diversità a parte, ora i download funzionano benissimo!